2009. május. 05. 12:56 Eduline Utolsó frissítés: 2010. április. 14. 16:15 Közoktatás

Matek érettségi: a második rész feladatai és a megoldások

11-kor ért véget az idei matek érettségi, a középszintű feladatsor második részének szaktanárok által kitöltött megoldásai itt olvashatóak.


13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon élők kor és nem szerinti megoszlása (ezer főre) kerekítve az alábbi volt:
korcsoport
(év)
férfiak száma
(ezer fő)
nők száma
(ezer fő)
0 -19
1 214
1 158
20 - 39
1 471
1 422
40 - 59
1 347
1 458
60 - 79
685
1 043
80 -
75
170
 
a)      Melyik korcsoport volt a legnépesebb?
A táblázat adatai alapján adja meg, hogy hány férfi és hány nő élt Magyarországon 2000. január 1-én?
b)     Ábrázolja egy közös oszlopdiagramon, két különböző jelölésű oszloppal a férfiak és a nők korcsoportok szerinti megoszlását!
c)      Számítsa ki a férfiak százalékos arányát a 20 évnél fiatalabbak korcsoportjában, valamint a legalább 80 évesek között!
Megoldás:
a)    A legnépesebb a 20 – 39 korcsoport volt 2 893 ezer fővel
2000 01 01-én összesen
nő: 5251 ezer fő
férfi: 4792 ezer fő
b)     
korcsoportok
c)    20 év alatt:   1214/2372*100  = 51,18%
80 év fölött: 75/245*100 = 30,61%
14. Egy vetélkedőn részt vevő versenyzők érkezéskor sorszámot húznak az urnából. Az urnában 50 egyforma gömb van. Minden egyes gömbben egy-egy szám van, ezek különböző egész számok 1.50-ig.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező versenyző héttel osztható számot húz?
A vetélkedő győztesei között jutalomként könyvutalványt szerettek volna szétosztani a szervezők. A javaslat szerint Anna, Bea, Csaba és Dani kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak aránya az előbbi sorrendnek megfelelően 1:2:3:4. Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalom ötödét szánták, önként lemond az utalványról. A zsűri úgy döntött, hogy a neki szánt 16 000 forintos utalványt is szétosztják a másik három versenyző között úgy, hogy az ő jutalmaik között arány ne változzon.
b) Összesen hány forint értékű könyvutalványt akartak a szervezők szétosztani a versenyzők között, és ki mondott le a könyvutalványról?
c) Hány forint értékben kapott könyvutalványt a jutalmat kapott három versenyző külön-külön?
Megoldás:
a)      1-50-ig a héttel osztható egész számok: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49. Összesen 7 db
P = 7/50
b)     1x+2x+3x+4x = 10x. 10 x egy ötöde az 2x, tehát Bea mondott le a könyvutalványról
2x = 16 000, akkor x = 8 000, 10x = 80 000 tehát a nyeremény teljes összege: 80.000 Ft
c)      1y+3y+4y=80 000
8y=80 000
y=10 000
Nyeremények: Anna: 10.000 Ft, Csaba: 30.000 Ft, Dani: 40.000 Ft
 
15. Valamely derékszögű háromszög területe 12 cm3, az α hegyesszögéről pedig tudjuk, hogy tg α = 3/2
a) Mekkorák a háromszög befogói?
b) Mekkorák a háromszög szögei, és mekkora a köré írt kör sugara?
(A szögeket fokokban egy tizedesjegyre, a kör sugarát centiméterben szintén egy tizetedesjegyre kerekítve adja meg!)
Megoldás
a)      tg α = a/b = 3/2, ebből a= (3/2)b
Terület = (ab)/2 = 12, ebből ab = 24
(3/2)b*b = 24
b2 = (2*24)/3 = 16
b = 4 cm
a=6 cm
b)     tg α = 3/2, ebből α=56,3 o és β= 33,7o
c2 = a2 + b3
c2 = 36+16 = 52
c = 7,2

A derékszögű
háromszög köré írható kör átmérője az átfogó. Ennek fele a sugár: r=3,6 cm
 
16. A következő kérdések ugyanarra a 20 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak.
a) Mekkorák a sokszög belső szögei? Mekkorák a külső szögei?
b) Hány átlója, illetve hány szimmetriatengelye van a sokszögnek?
     Hány különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból?
c) Milyen hosszú a legrövidebb átló, ha a szabályos sokszög beírt körének sugara 15 cm? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
 
Megoldás:
a)      Belső szögeinek összege: (20-2)*180 = 3240o ebből 1 szöge= 3240/20=162 o 
Külső szöge: 180-162 = 18o  
b)     Átlóinak száma: (20*(20-3))/2 = 170 o 
Szimmetria tengelyek száma 20 db
Egy csúcsból összesen 17 átló húzható, ezek közül 8-nak van ugyanolyan hosszúságú párja, ezért 17-8 = 9 különböző hosszúságú átló húzható
c)      A legrövidebb átló hossza: 9,38 cm
17. A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a g: R -> R g(x) = (1/2)x2 
a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel!
b) Határozza meg az f zérushelyeit!
c) Ábrázolja f grafikonját a [-2, 6] intervallumon!
d) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget!
Megoldás:
a)      f: R -> R   f(x) = (1/2)*(x-2)2- 4,5
b)     f(x) = 0
x2-4x-5 = 0, ebből xí = 5, x2 = -1
c)        
függvény
d)     f(x) = (1/2)x2-(1/2)*4x+(1/2)*4-4,5
f(x) = (1/2)x2-2x+2-4,5
f(x) = (1/2)x2-2x-2,5

18. Egy ruházati nagykereskedés raktárában az egyik fajta szövetkabátból már csak 20 db azonos méretű és azonos színű kabát maradt. Ezek között 9 kabáton apró szövési hibák fordulnak elő. A nagykereskedés eredetileg darabonként 17 000 Ft-ért árulta a hibátlan és 11 000 Ft-ért a szövési hibás kabátokat. A megmaradt 20 kabát darabját azonban már egységesen 14 000 Ft-ért kínálja.
Egy kiskereskedő megvásárolt 15 darab kabátot a megmaradtakból. Ezeket egyenlő valószínűséggel választja ki a 20 kabát közül.
a) számítsa ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kabátok között legfeljebb 5 olyan van, ami szövési hibás! (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekítve adja meg!)
b) Legfeljebb hány hibás kabát volt a 15 között, ha a kiskereskedő kevesebbet fizetett, mint ha a kabátokat eredeti árukon vásárolta volna meg?
 
Megoldás:
a)      Legfeljebb 5 hibás kabát csak úgy lehet, ha 4, vagy 5 kabátot vesz a kereskedő. 

esetek száma

b)     A kereskedő 15 kabátért 210000Ft-ot fizetett
Hibás kabát : x db
Jó kabát : 15x db
11 000x + 17 000(15-x) ≥ 210 000
11 000x + 255 000 – 17 000x ≥ 210000
43 000 ≥ 6 000 x
7,5 ≥ x

Legfeljebb 7 hibás kabát volt a 15 kabát között

Az első rész megoldásait pedig innen töltheted le.

„A tananyag is jobban megmarad, ha valamilyen élményt vagy emléket tudnak hozzá kötni” Közoktatás Székács Linda

„A tananyag is jobban megmarad, ha valamilyen élményt vagy emléket tudnak hozzá kötni”

Bóják között szlalomozó, alagutakon átbújó macskák. Így is lehet irodalmat tanulni vagy épp kötelező olvasmányokból számot adni a Terápiás és Segítő Macskákért Alapítvány rendhagyó irodalomóráján. A tanulás így nem csak szórakoztató, de észrevétlen is lehet, és olyan gyerekek is bevonódnak az órákba, akik általában vagy nem szólalnak meg, vagy a zavaró viselkedésükről ismertek.